Un enseignement pour singes savants

Une page du site Eduscol [2] propose des ressources pour la mise en œuvre du nouveau programme de mathématiques du lycée et son application à la terminale dès la rentrée 2012. Ces ressources sont trop ambitieuses pour l'horaire dont on dispose et la réalité de l'enseignement des mathématiques.

Bien qu’intéressantes du point de vue culturel, ces activités donnent le tournis. On y voit beaucoup de calculs, de listes de nombres, de copies d'écrans d’ordinateurs, et finalement tout un maelstr?m qui met systématiquement l’accent sur le traitement brut de l'information numérique, l’exploitation de la puissance de calcul des machines, les statistiques, les TICE et l'expérimentation. C’est la mode actuelle et personne n’y coupe. Il s’agit encore et toujours de « placer l’élève au centre du savoir » et de l’amener à « construire lui-même ses connaissances », d’où une profusion d’activités qui engluent celles-ci dans une pâte informe et rendent finalement plus difficile l’apprentissage des savoirs scientifiques.

Bien évidemment, les buts affichés sont vertueux et personne n’osera critiquer le fait qu’il s’agit de « former l’élève à la pratique d’une démarche scientifique » et « mettre en œuvre une recherche de façon autonome ». Les compétences mises en jeu sont aussi louables et rentrent tout à fait dans le cadre de l’enseignement des mathématiques. Il s’agit de :

- Savoir mener des raisonnements,

- Adopter une attitude critique vis-à-vis des résultats obtenus,

- Apprendre à communiquer à l’écrit et à l’oral.

Le problème est ailleurs : il réside dans les méthodes adoptées et leur adéquation avec les volumes horaires autorisés dans les sections dites « scientifiques » qui, réforme après réforme, tendent à devenir beaucoup plus généralistes que scientifiques.

Dans l’idéologie dominante, le professeur doit s’effacer suffisamment pour se transformer en une ressource au secours des apprenants, sans jamais offrir un discours structuré sur les connaissances qu’il est censé enseigner. Le cours magistral a disparu depuis belle lurette du secondaire, mais on continue à vitupérer contre. Un anathème est lancé si un enseignant ose commencer un cours par autre chose que plusieurs activités d’introduction quand bien même celles-ci ne seraient pas nécessaires, et l’on recommande d’utiliser un vidéoprojecteur ou des travaux sur ordinateur pour projeter des images ou explorer des situations avant de commencer.

Tout cela a un prix : il existe des écueils qui inquiètent beaucoup les collègues du secondaire avec qui j’ai eu l’occasion de parler. Ceux-ci ne prennent pas le risque de dire tout haut ce qu’ils vivent sur le terrain, et s’autocensurent fréquemment car des sanctions peuvent toujours s’abattre sur celui ou celle qui serait un peu trop critique vis-à-vis des orientations prises dans l’enseignement des mathématiques. S’il doit tout faire pour développer l’esprit critique chez ses élèves, un « bon enseignant », tel un « bon petit soldat », doit savoir ne pas trop en abuser quand il s’agit d’instructions officielles qu’il est tenu d’appliquer, au risque de se retrouver mal noté, avec un emploi du temps à trous et des classes difficiles.

Le problème est pourtant sérieux car il engage pour des décennies. Pour atteindre les objectifs annoncés, la mode est de sans cesse recourir à l’expérimentation sur machine, à l’algorithmique et à la libre autonomie des apprentissages. Avec de tels choix, les écueils les plus importants sont le manque de temps et le manque de matériel, et le dégât collatéral le plus dangereux est la mise en adéquation du programme d’une discipline avec les impératifs numériques annoncés.

Le temps d’enseignement « en présentiel » est insuffisant pour que l’on puisse envisager autant de travaux pratiques sur ordinateur, à moins de supprimer l’acquisition de connaissances fondamentales. C’est ce que l’on a choisi de faire, sans état d’âme. Avec la réforme 2010, un élève de première « scientifique » se contente de quatre heures de mathématiques par semaine au lieu de six les années précédentes, sur un programme édulcoré, en adoptant une progression spiralée qui interdit au professeur d’aborder une notion et d’achever son étude en un temps raisonnable. La mode est à l’effleurage des notions sur lesquelles on est tenu de revenir ensuite régulièrement mais longtemps de façon imparfaite, et à l’étude de plusieurs notions en parallèle. Cette méthode ne permet pas à l’élève de se construire des repères fiables sur des questions simples qui posaient peu de problèmes dans le passé. Interrogés, les élèves préfèrent des cours progressifs et structurés qui exposent clairement les savoirs et qui vont droit au but.

Quant au matériel, il ne suit pas, et ne suivra sans doute jamais compte tenu du niveau irréaliste d’investissement que cela demande à la société pour atteindre des résultats extrêmement modestes. De plus, il ne faut pas oublier que le nombre d’élèves par classe influe directement sur l’efficacité des travaux pratiques, et que des classes à 37 élèves, comme cela se voit souvent, rendent illusoire tout bénéfice lié à une quelconque expérimentation en salle informatique où attendent seulement une quinzaine d’ordinateurs en état de marche.

Dans un cadre horaire insuffisant, l’irruption des travaux pratiques sur ordinateurs et d’activités longues de travail autonome apparaît comme une gesticulation pédagogique destinée à faire croire que l’on réalise de grands desseins. La réalité est que l’on se trouve dans l’incapacité de raisonner à partir de définitions rigoureuses pour démontrer des résultats fondamentaux parce que l’on n’a plus le temps de travailler les bases.

Voici un exemple. Avant les années 1980, un élève de terminale savait démontrer que la limite d’une fonction en un point était unique, si elle existait. Il pouvait démontrer que la fonction sinus n’admettait pas de limite quand x tendait vers l’infini. En cours, on lui démontrait les théorèmes généraux sur les limites, et il pouvait aborder la notion de dérivabilité des fonctions avec confiance et sérénité. Il possédait un avantage considérable sur l’élève d’aujourd’hui auquel on est tenu de ne donner qu’une définition vaseuse de la limite d’une fonction, et qui se voit incapable de démontrer quoi que ce soit dès qu’il s’agit de limites, à moins d’admettre une kyrielle de résultats, ce qui, en mathématiques, est parfaitement débilitant.

Je parle ici uniquement des programmes des sections scientifiques qui sont construits a priori pour des élèves qui se destinent aux métiers scientifiques. Je rappelle aussi que les mathématiques ne font plus partie de l’enseignement obligatoire proposé en section littéraire, ce qui place cette filière hors de notre propos.

Que dire des élèves qui veulent faire des mathématiques ? Où iront-ils ? Faut-il rappeler qu’en mathématiques, ne pas disposer d’une définition rigoureuse signifie que l’on est incapable de démontrer quoi que ce soit où intervient ensuite l’objet de cette « définition » ? En réduisant les mathématiques à des séries d’observations éparses qui ne donnent pas lieu à l’établissement et à l’exploitation de définitions rigoureuses et de théorèmes démontrés avec soin, on détruit tout ce qui fait la spécificité de cette science, on la gomme, et l’on empêche les élèves qui en ont les moyens de s’abreuver à cette source spécifique de connaissances. Bref, on fait de tout, sauf des mathématiques !

De l’ambition, il y en a trop dans les nouveaux programmes de mathématiques en section S du lycée ! Mais il a surtout l’ambition de montrer que l'on fait de grandes choses sans en avoir les moyens. On brasse des idées floues sans prendre la peine de donner des définitions précises, parce qu’on n’a pas les moyens de les comprendre. En mathématiques, ne pas avoir de définition précise revient à s’interdire de démontrer correctement quoi que ce soit. En ce début du vingt et unième siècle, on arriverait donc à faire des mathématiques sans faire de démonstrations et en admettant tous les résultats importants !

Cette approche « à la mode », imposée aux professeurs, est devenue tellement systématique qu’elle va jusqu’à déterminer le choix du contenu scientifique à enseigner. Certaines notions fondamentales, comme les barycentres, les similitudes ou le produit vectoriel, disparaissent complètement de l’enseignement dans les séries scientifiques pour laisser la place au traitement statistique des données, à l’échantillonnage, à l’estimation par intervalles de confiance et aux tests d’hypothèse. A croire que les mathématiques ne servent plus qu’à former des sociologues ou des analystes financiers. 

L’étude d’équations différentielles linéaires à coefficients constants du premier ou du second ordre, qui figurait au programme de terminale scientifique depuis des lustres, et permettait d’envisager des applications fondamentales en physique pour l’étude des phénomènes vibratoires ou de la radioactivité, a disparu du programme. A l’époque où l’on répète comme un gargarisme que le salut ne sera obtenu qu’en travaillant toujours plus l’interdisciplinarité, cette « interdisciplinarité » devient lettre morte lorsqu’il s’agit de sciences aussi voisines que les mathématiques et les sciences physiques ! Il y a de quoi rire jaune…

Les programmes de terminale S continuent cependant d’introduire l’exponentielle comme la solution d’une équation différentielle, dans l’unique but de pouvoir aborder l’étude de cette fonction en utilisant une activité sur ordinateur : il est ainsi conseillé d’utiliser un tableur pour obtenir la construction approchée de la courbe de la fonction y qui vérifie y’=y et y(0)=1 grâce à la méthode d’Euler. Une très belle activité, dévoreuse en temps, qui ne permet pas d’articuler l’étude de l’exponentielle de la façon la plus simple possible, et qui laissera aux élèves un drôle d’arrière-goût : celui que cette fonction bizarre est difficile à étudier et d’approche difficile. Ne pas chercher le discours le plus direct et le plus simple pour apprendre les mathématiques n’est pas une bonne solution quand on connaît la baisse des horaires d’enseignement dans cette discipline et la difficulté dans laquelle les élèves se trouveront plus tard à l’université pour « construire leur savoir » à partir des découvertes éparses qu’ils auront accumulées au grès des activités sur machines dont on les aura abreuvés.

Des scientifiques éminents, membres de l’Académie des sciences, avaient pourtant prévenu le ministère bien à l’avance de la dangerosité des choix effectués dans ces nouveaux programmes de mathématiques. Cela n’a servi à rien, et nous retiendrons que les décideurs ne sont pas à chercher parmi les scientifiques, et que la nation ne tient pas compte des avertissements de ses experts, ce qui est très inquiétant. Voici en quels mots ces experts parlaient du programme de terminale destiné à nos jeunes scientifiques :

« En ce qui concerne les programmes de mathématiques de terminale S, un examen détaillé des textes proposés révèle de graves insuffisances et incohérences. Les ambitions affichées dans le préambule (capacité à effectuer des recherches autonomes, à avoir une attitude critique, à modéliser) ne seront en aucun cas réalisables compte tenu des horaires assignés et des contenus proposés. On observe en plusieurs endroits l'abandon des définitions utiles et du formalisme minimal qui seuls pourraient permettre de conduire des raisonnements précis et argumentés. Ainsi en analyse, alors que la définition des dérivées est supposée déjà avoir été travaillée en classe de première, la notion de limite finie en un point n'est plus au programme, et toute mention de la relation avec la continuité a disparu. 

Beaucoup de définitions en appellent à de vagues intuitions et la plupart des résultats fondamentaux sont admis. Au lieu de recommander l'affermissement des capacités calculatoires des élèves, l'ambition affichée pour le calcul des dérivées se réduit à l'emploi d'une prothèse, à savoir l'usage de logiciels de calcul formel. La fonction tangente semble quant à elle avoir disparu des exigences. Au titre des graves incohérences, on constate la disparition du chapitre sur les équations différentielles, tandis que la fonction exponentielle continue à être introduite comme la solution d'une telle équation. Le chapitre sur les probabilités, qui ne paraît imposant que superficiellement, se voit privé de beaucoup des fondements nécessaires à son traitement et à sa compréhension : il vaudrait bien mieux en la circonstance cadrer davantage le contenu afin de pouvoir étudier la question en profondeur. La géométrie est hélas de nouveau le parent pauvre de ce projet de réforme ; ainsi, l'introduction des nombres complexes est amputée du support géométrique que constitue l'étude des similitudes, et le contenu de géométrie dans l'espace manque cruellement d'une vision d'ensemble. 

Le programme de l'enseignement de spécialité ne vient guère corriger ce tableau général médiocre puisqu'à côté des notions de décomposition en produit de facteurs nombres premiers ou de pgcd qui auraient pu autrefois relever du début du collège, on voit apparaître des propositions assez surprenantes sur le « modèle de diffusion d'Ehrenfest » ou les « marches aléatoires sur les graphes » dont l'intitulé fait plutôt penser à des recherches avancées de spécialistes... » [4]

Les enseignants et les élèves sont maintenant nombreux à pâtir des élucubrations d’un programme étonnant, improvisé dans la hâte et sans doute concocté par un panel de non-scientifiques non experts en enseignement des sciences. Dans ce même communiqué, on peut d’ailleurs lire ces paroles sages :

« La conception de nouveaux programmes ne saurait s'improviser en quelques semaines, et il serait très souvent souhaitable d'effectuer des expérimentations préalables dans des classes représentatives, suivies d'une analyse impartiale a posteriori par des experts et par le milieu enseignant. » [4]

Comment réagiront les élèves ? Auront-ils envie de faire des mathématiques dans ces conditions ? Ne seront-ils pas dégoûtés dans cette obligation de traiter sur machines des centaines de tableaux de nombres à des fins statistiques au lieu de comprendre ce que représente une notion ? Au lieu de disposer de la source précise des connaissances ? Pour qui les prend-on ?

Ces choix pédagogiques représentent beaucoup de tracas et de temps gaspillé pour finalement acquérir des connaissances et des compétences floues que l’élève devra préciser, seul et livré à lui-même, dans un chaos total pendant ses premières années d’université, si seulement il consent à s’orienter dans des études scientifiques. Un tel programme découragera beaucoup de « cerveaux bien faits » car il met l’accent sur la communication et la forme, en oubliant les contenus et le sens.

L’utilisation de machines de toutes sortes peut bien sûr rendre d’énormes services en mathématiques, mais seulement si cela est envisagé sans que l’on détruise les fondements de cette science et que l’on tienne nos jeunes esprits à l’écart des connaissances brutes. La priorité donnée à l’expérimentation, et le recours systématique à celle-ci dans un cours de mathématique, pose un véritable problème dont on apercevra les effets nocifs dans quelques années.

Sans des horaires importants, donc adaptés à ces velléités pédagogiques, il est préjudiciable de faire perdre du temps aux élèves. Que restera-t-il si les fondamentaux ne sont jamais travaillés et assimilés pied à pied ? L'élève assimilera les mathématiques à des traitements fastidieux de listes de nombres et à des tracés compliqués dont on n’a que faire, et changera de voie le plus vite possible. Nous ne lui offrons pas de « belles mathématiques », mais des mathématiques tape-à-l’œil qui fatiguent celui qui s'y lance. Or les universités manquent d’étudiants scientifiques [1].

Un document d’accompagnement des programmes en analyse [3] propose toute une série d’activités sur le thème du second degré, plus exactement, il s’agit de cinq séquences sur ordinateur pour tester des hypothèses et lire des réponses proposées par des élèves fictifs qui utilisent des méthodes variées sur des calculatrices ou des logiciels comme Geogebra et Xcas. Certains passages sont effacés et doivent être complétés. Ces activités à trous sont jolies et apportent effectivement quelque chose dans le cadre d’un travail d’approfondissement réservé à des volontaires qui auraient beaucoup de temps à y consacrer. Mais ces activités monopolisent cinq heures de cours de seconde pour finalement calculer une aire de triangle en fonction de x, et écrire un polynôme du second degré sous sa forme canonique, sans arriver à dégager de formule générale dont l’apprentissage est laissée à plus tard. Pourquoi tant de fatigue alors que des connaissances plus précises et plus générales peuvent être acquises en deux heures si l’on se permet d’exposer la « mise sous forme canonique » pour traiter le cas général et regrouper les résultats obtenus dans un théorème à retenir ? Il ne restera ensuite qu’à s’entraîner sur des exercices non TICE, et croyez-moi, celui qui choisira cette voie comprendra mieux, retiendra mieux, et saura qu’il possède un brin de connaissances « sûres ».

Non, nos élèves ne méritent pas autant d’acharnement numérique, simplement parce que l’ordinateur est devenu l’alpha et l’oméga de toute chose pendant quelques décennies, jusqu’à ce que l’on ait compris qu’il s’agit d’un outil formidable et exceptionnel si on l’utilise à bon escient. Que de complications inventées seulement pour justifier l’emploi de logiciels, et pour suggérer qu’il est impossible de penser sans logiciel. Le cerveau humain ne serait-il donc plus capable d’abstraction sans l’aide d’un calculateur ? L’enfant qui aura passé 5 heures à travailler sur ces activités sur les équations du second degré aura l’impression d’avoir achevé quelque chose de très compliqué réservé à une élite intellectuelle, et retiendra peut-être seulement que la factorisation d’un polynôme du second degré est une chose excessivement difficile que l’on doit laisser aux spécialistes chevronnés.

Sur une copie fictive d’élève proposée dans l’une des activités proposées sur (Eduscol1, 2012), on lit : « le résultat est monstrueux, je n’ai pas réussi à faire mieux, ça tourne en rond mais on voit bien qu’on peut simplifier… ». Oui, tout cela est monstrueux et c’est sans doute ce qui restera dans l’esprit des élèves : qu’en classe de mathématiques, on fait des choses monstrueuses pendant des heures interminables pour accoucher d’une souris. Pour des connaissances qu’il aurait été plus facile d’introduire directement !

C’est sans doute ce qu’a voulu me dire un élève de première de Guadeloupe interrogé en juillet 2012. Je conduisais en direction de Deshaies quand j’ai pris deux autostoppeurs. C’étaient des lycéens, lui, en terminales S, venait juste de passer les épreuves du BAC, et sa copine était en première S. J’en profitai pour leur demander ce qu’ils pensaient des heures d’accompagnement personnalisé au lycée, la nouvelle « tarte à la crème pédagogique à la mode ». Ils me répondirent que c’était une perte de temps, que l’on n’avait rien appris pendant ces heures, et qu’en mathématiques ils ne comprenaient pas pourquoi on perdait tant de temps à faire des activités longues et fastidieuses pour finalement arriver à un « tout petit bout de résultat » insignifiant. Ils rajoutèrent qu’ils préféraient beaucoup avoir une leçon claire sur le sujet que l’on devait connaître, en allant droit au but, au lieu de tourner autour du pot pendant des heures.

Ces élèves n’ont pas tort : à vouloir tout introduire par des activités avec ou sans ordinateur, on brouille le message jusqu’à le rendre incompréhensible. A sans cesse vouloir tuer le cours magistral et tout ce qui peut y ressembler, on dilue les connaissances dans un imbroglio inextricable sans fil directeur visible, ce qui doit finalement paniquer beaucoup d’élèves. Les mathématiques sont devenues encore plus difficiles que ce qu’elles étaient à force de vouloir les démocratiser, mais là, elles deviennent difficiles même pour les « bons élèves ». C’est affreux !

Quelle démarche scientifique veut-on donner à nos élèves ? La démarche expérimentale. On présente les mathématiques comme s’il s’agissait d’une science expérimentale où il y a une nécessité absolue de confronter la théorie avec l’expérience, d’où cette utilisation effrénée de tableurs, grapheurs et de logiciels de programmation pour valider ou non une hypothèse et en tirer des conséquences. L’idée de théories mathématiques développées à partir d’une axiomatique et utilisant des raisonnements logiques a disparu de notre enseignement, et nos nouveaux professeurs certifiés de mathématiques sont aussi maintenant choisis suivant de nouveaux critères qui privilégient une vision expérimentale de cette discipline.

On pourra bientôt dire que l’axiomatique a été découverte au vingtième siècle, et enterrée au vingt et unième siècle. L’essence et la particularité de la science mathématique seront dorénavant réservées à une élite, alors que beaucoup d’élèves du lycée possèdent les moyens de les comprendre. Pourront-ils attendre ? Comment réagiront-ils ? Auront-ils envie de faire les mathématiques qu’on leur propose ? S’orienteront-ils vers d’autres voies après le BAC ?

Toujours au sujet des nouveaux programmes : 

« L'effet des propositions soumises à la consultation, au-delà de l'incantation de quelques prétentions inaccessibles, sera surtout de réduire encore les contenus de mathématiques délivrés aux élèves. L'introduction de sujets nouveaux comme l'algorithmique ne peut se faire sans que l'équilibre global des horaires des différentes disciplines soit revu. Les horaires consacrés aux sciences sont aujourd'hui très insuffisants dans la voie scientifique du lycée. Il est également très regrettable que les mathématiques aient disparu de certaines séries littéraires qui restent pourvoyeuses de cadres de l'état ou d'enseignants généralistes. » (Communiqué/AS)

L’enseignement des mathématiques est en péril, et l’Académie des sciences nous avait bien avertis. 

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